Aranyháromszög

Bevezetés

1. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat és az ötszög

1.1. Az aranymetszés arányszáma 120 jegy pontosságig

1.2. A Fibonacci-sorozat

1.3. Szabályos ötszög

2. Közös pontok

2.1. A Fibonacci sorozat és az aranymetszés kapcsolata

2.2. A szabályos ötszög és az aranymetszés kapcsolata

2.3. Az aranyháromszög

3. A Fibonacci-sorozat általánosítása

3.1. A hagyományos Fibonacci-sorozat

3.2. A Fibonacci-sorozat kiterjesztése negatív irányba

3.3. Fibonacci-sorozat tetszőleges kezdőtagokkal

3.4. A mértani Fibonacci-sorozatok

4. A Fibonacci-sorozat geometria ábrázolása és összegképlete

4.1. Fibonacci-sorozatok összegének meghatározása

4.1.1. Mértani Fibonacci-sorozatok összegképlete

4.1.2. Hagyományos Fibonacci-sorozat összegképlete

4.2. Az összegképlet grafikus meghatározása

4.3. Az összegképlet általános esete

4.4. A Fibonacci-sorozat meghatározása tükrözéssel

4.5. A Fibonacci-csigavonal

5. A Fibonacci-sorozat algebrája

5.1. A hatványsorozat kifejezése a klasszikus Fibonacci-sorozattal

5.2. Fibonacci-sorozatok összege

5.3. Az összegsorozat

5.4. A különbségi sorozat

5.5. Fibonacci-sorozat, hatványsorozatok, összeg- és különbségi sorozat összehasonlítása

5.6. A mértani Fibonacci-sor tagjainak kifejezése egész szám és a gyök 5 egész számú többszörösének összegeként

5.7. A folytonos Fibonacci-függvények

5.8. x az n-ediken + ax + b = 0 alakú egyenletek, amelyek az aranymetszés gyökeit adják

5.9. Kérdőjelek a Brun szám körül

6. A Fibonacci-sorozat és a trigonometria

6.1. Szögfüggvények meghatározása

6.2. A pi kifejezése a Fibonacci-számokkal

7. A Fibonacci-számrendszerek

7.1. Számrendszer a hagyományos Fibonacci-sorozattal

7.2. Számrendszer az aranymetszés pozitív gyökére épített Fibonacci-sorozattal

7.3. Számrendszer az aranymetszés negatív gyökére épített Fibonacci-sorozattal

7.4. Konverzió Fibonacci-számrendszerböl tízes számrendszerbe

7.5 Konverzió tízes számrendszerből Fibonacci-számrendszerbe

7.5.1. Konverzió klasszikus Fibonacci-számrendszerbe

7.5.2. Konverzió tízes számrendszerből x alapú Fibonacci-számrendszerbe

7.5.3. Konverzió tízes számrendszerből j alapú Fibonacci-számrendszerbe

7.6. Fibonacci-számrendszerbeli szám optimális alakra hozása

7.7. Egész számok kifejezése Fibonacci-számrendszerben

7.8. A Fibonacci-számrendszer hatékonysága

7.9. Összefoglalás

8. Összefüggések a hagyományos Fibonacci-sorozat és az összegsorozat tagjai között

8.1. A sorozatképzésből adódó eredmények

8.2. A szimmetria tétel

8.3. Műveletek a Fibonacci-sorozat és az összegsorozat tagjaival

8.4. Műveletek a Fibonacci-sorozat tagjainak indexében

8.5 A Fibonacci-számok oszthatósága

8.5.1. A szomszédos Fibonacci-számok relatív prímek

8.5.3. Minden természetes számnak van többszöröse a Fibonacci-számok között

8.5.4. Prímszámok többszöröse a Fibonacci-számok között

8.5.5. Grafikus megjelenítés és példák az 5 < n < 29 prímszámokra

8.5.6. További kapcsolat a prímszámok és a Fibonacci-számok között

8.5.7. A Fibonacci-sorozat felsorolja a prímszámokat

9. A szabályos ötszögben rejtőző aranymetszések

9.1. Az ötszög oldalának és átlójának aránya

9.2. Az átlók metszési aránya a szabályos ötszögben

9.3. A beírt és körülírt kör sugarának aránya a szabályos ötszögben

9.4. Részterületek aránya a szabályos ötszögben

9.5. A szabályos ötszög és a szabályos hatszög kapcsolatából adódó aranymetszés

9.6. Kivétel erősíti a szabályt

10. Aranymetszés a térgeometriában

10.1. Szabályos testek

10.2. A szabályos testek néhány tulajdonsága

10.3. A dodekaéder és az aranymetszés

10.4. Az ikozaéder és az aranymetszés

10.5. A csonkakúp

11. Az attenuátor

11.1. A klasszikus Fibonacci-sorozat előállítása attenuátorral

11.2. A mértani Fibonacci-sorozat előállítása attenuátorral

12. A Fibonacci-számok a természetben

12.1. Elágazások

12.2. Szirmok

12.3. Spirálok

12.4. Csigaházak

12.5. Levelek

13. Az aranymetszés a művészetben

Befejezés

Irodalom