Lineáris algebra

Bevezetés

A könyvben követett elvek • Jelölések

1. Vektorok

Vektorok a 2 és 3 dimenziós térben

Irányított szakasz és vektor • Vektor megadása és az origó • Vektor jellemzői • Vektorok összeadása és skalárral szorzása • Lineáris kombináció

Távolság, szög, orientáció

Skaláris szorzás • Hosszúság és szög • Három alaptétel vektorok hosszáról • Egységvektorral való szorzás és a merőleges vetítés • Orientáció • Vektori szorzás • Paralelepipedon térfogata és előjeles térfogata • Vegyes szorzat

Vektorok koordinátás alakban

Descartes-féle koordináta-rendszer • Műveletek koordinátás alakban megadott vektorokkal • A derékszögű koordináta-rendszer • Az Rn halmaz • Rn mint vektortér • Lineáris függetlenség • Rn mint euklideszi tér • Távolság és szög Rn-ben • Korrelációs együttható • Abszolút értékre vonatkozó tételek

2. Lineáris egyenletrendszerek

Megoldás kiküszöböléssel

Lineáris egyenlet és egyenletrendszer • Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek • Mátrixok • Elemi sorműveletek • Lépcsős alak • Gauss-módszer • Redukált lépcsős alak • Gauss – Jordan-módszer • A redukált lépcsős alak egyértelműsége – az rref függvény • Szimultán egyenletrendszerek • A kiküszöbölés műveletigénye • Numerikusan instabil egyenletrendszerek • Részleges főelem-kiválasztás • Skálázás

Az egyenletek geometriája

Implicit és explicit egyenletrendszerek • Az egyenes explicit egyenlet(rendszer)ei • Síkbeli egyenes implicit egyenlet(rendszer)ei • Térbeli sík egyenletei • Térbeli egyenes egyenletrendszerei • Pont és hipersík • Sormodell: hipersíkok metszete • Oszlopmodell: vektor előállítása lineáris kombinációként

Megoldhatóság és a megoldások tere

Kötött változók száma, mátrix rangja • Egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele • Vektortér és altér • Alterek tulajdonságai és szemléltetésük levéldiagrammal • Kifeszített altér • Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai • Vektorok lineáris függetlensége

Alterek tulajdonságai és az egyenletrendszerek

Sor- és oszloptér változása elemi sorműveletek közben • Bázis és a bázisra vonatkozó koordináták • Dimenzió és rang • Kiegészítés bázissá • Alterek metszetének bázisa • Altér merőlegese • Mátrix kitüntetett alterei és a lineáris algebra alaptétele • A sortérbe eső megoldás • Elemi bázistranszformáció

3. Mátrixműveletek

A mátrixműveletek definíciói

Táblázatok összeadása és skalárral szorzása • Mátrixok • Elemenkénti mátrixműveletek • Táblázatok szorzata • Lineáris helyettesítések kompozíciója • Mátrixszorzás • Műveletek blokkmátrixokkal • Skaláris szorzat és diadikus szorzat mátrixszorzatos alakja • Lineáris egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja • Lineáris helyettesítés mátrixszorzatos alakja • Szorzás vektorral • A báziscsere mátrixszorzatos alakja • Egységmátrix • Elemi mátrixok • Vektorokra particionált mátrixok • Kronecker-szorzat és a vec-függvény • Lineáris mátrixegyenletek

Mátrixműveletek algebrája

Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai • A szorzás tulajdonságai • Mátrix hatványozása • A transzponálás tulajdonságai • Mátrixszorzás inverze – mátrixok osztása • Mátrix inverze • Elemi mátrixok inverze • Az inverz kiszámítása • Az inverz tulajdonságai • Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek megoldhatósága • Invertálhatóság és bázis • Báziscsere • Diagonális mátrixok • Permutáló mátrixok és kígyók • Háromszögmátrixok • Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok • Gyorsszorzás • Gráfok mátrixai

Mátrixfelbontások

Bázisfelbontás • Az LU-felbontás • Egyenletrendszer megoldása és mátrix invertálása LU-felbontással • Az LU-felbontás a gyakorlatban • PLU-felbontás

4. Determináns

A determináns mint sorvektorainak függvénye

Paralelogramma előjeles területe • Paralelepipedon előjeles térfogata • A determináns definíciója • Mikor 0 a determináns értéke • A determináns értékének kiszámítása • Elemi mátrixok determinánsa • Permutáló mátrix determinánsa • Mátrixműveletek és determináns • Determinánsok soronkénti additivitása

A determináns mint elemeinek függvénye

Kígyók determinánsa • Előjeles aldetermináns • Determináns kifejtése • Cramer-szabály és a mátrix inverze • Rang és aldeterminánsok (minorok) • Vandermonde-determináns • Wronski-determináns • Blokkmátrixok determinánsa

5. Lineáris leképezések

Lineáris leképezés és mátrixleképezés

A lineáris és a mátrixleképezés fogalma • Mátrixleképezések szemléltetései • Lineáris leképezés mátrixa standard bázisban • Képtér és magtér • Vetítések jellemzése • Lineáris funkcionálok • Műveletek lineáris leképezésekkel • Izomorfizmus • Véges dimenziós terek jellemzése

Lineáris leképezések mátrixai

Lineáris leképezés megadása • Lineáris transzformáció mátrixa adott bázisban • Mátrixok hasonlósága • Hasonlóságra invariáns tulajdonságok • Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban • Lineáris leképezés és transzformáció jellemző adatai

A vektortér absztrakt fogalma

A vektortér fogalmának absztrakciója • A vektortér alaptulajdonságai • Függvényterek • Duális tér • Áttérés egyik bázisról a másikra • Példák duális terekre • Alterek összege és direkt összege • Multilineáris leképezések • Tenzorok • Általánosított függvények, disztribúciók

6. Sajátérték, diagonalizálás

Sajátérték, sajátaltér

A sajátérték és a sajátvektor fogalma • Sajátértékek meghatározása a karakterisztikus polinomból • 2×2-es mátrixok sajátértékei • Háromszög- és blokkháromszögmátrixok sajátértékei • Tankönyvi módszer • Lineáris transzformáció sajátértéke, sajátaltere • Sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása • Komplex sajátértékek • A 2×2-es mátrixok sajátaltereinek szemléltetése • Determináns, nyom és a sajátértékek kapcsolata • Hasonlóságra nézve invariáns tulajdonságok

Mátrixok spektruma

Mátrixok hatványai • Cayley–Hamilton-tétel • Transzponálttal való kapcsolat • Nilpotens mátrixok • Mátrix előírt spektrummal vagy karakterisztikus polinommal • Mátrixszorzat karakterisztikus polinomja • Gersgorin-körök • Hatványmódszer

Diagonalizáció

Diagonalizálhatóság • Diagonalizálható mátrix polinomja • A sajátfelbontás diadikus alakja • Diagonalizálható mátrixok spektrálfelbontása és a spektrálvetítők • A diagonalizálhatóság feltételei

Jordan-féle normálalak

Invariáns alterek • Általánosított sajátvektor, Jordan-lánc • Jordan-lánc és Jordan-bázis konstrukciója • Jordan-mátrix • Jordan-féle normálalak és egyértelműsége • A Jordan-féle normálalak meghatározása a nullitásokból • A Jordan-féle normálalak meghatározása a rangokból • Valós Jordan-alak • Minimálpolinom • Minimálpolinom a Jordan-normálalakból • A Jordan-normálalak alkalmazásai

Mátrixfüggvények

Diagonalizálható mátrixok függvénye • Spektrumon definiált függvény • Mátrixfüggvény a Jordan-normálalakból • Mátrixfüggvények kiszámítása • Valós Jordan-mátrix függvényei • Hermite-polinom • Mátrixfüggvény polinominterpolációval • Mátrixhatványok konvergenciája

7. Merőlegesség

Euklideszi tér

Skalárszorzat kiszámítása • Távolság és szög valós euklideszi térben • Merőleges vektorok absztrakt vektorterekben • Skaláris szorzat és norma kapcsolata • Komplex skaláris szorzás • Komplex euklideszi tér • Távolság és a merőleges vetítés komplex terekben • Valós és komplex euklideszi terek alaptételei

Merőleges vetítés

A merőleges vetítés fogalma • A merőleges vetítés mátrixa • Merőleges vetítések mátrixainak jellemzése • Merőleges vetítés euklideszi térben • A merőleges vetület kiszámítása • A merőleges vetület ortonormált bázissal • Euklideszi terek izomorfizmusa • Euklideszi tér duálisa

Legjobb közelítés

A legjobb közelítés fogalma • Lineáris egyenletrendszer optimális megoldása • Az optimális megoldások szemléltetése • Regresszió • Pszeudoinverz • A pszeudoinverz mátrixának kiszámítása • A pszeudoinverz algebrai jellemzése

Ortogonális leképezések, ortogonalizáció

Ortogonális és szemiortogonális mátrixok • 2D és 3D ortogonális transzformációi • Primitív ortogonális transzformációk • Gram–Schmidt-ortogonalizáció • Ortogonális polinomok • QR-felbontás • QR-felbontás primitív ortogonális transzformációkkal • Optimális megoldás QR-felbontással • Ortogonalitás komplex terekben • Diszkrét Fourier-transzformáció • Diszkrét Fourier-transzformáció • Gyors Fourier-transzformáció

8. Diagonalizáció ortonormált bázisban

Ortogonális és unitér diagonalizálhatóság

Triangularizáció • Ortogonális diagonalizáció • Unitér triangularizáció • Normális mátrixok • Unitér diagonalizálhatóság

Kvadratikus alakok

Kvadratikus alak • Áttérés más bázisra • Főtengelytétel kvadratikus alakokra • Főtengely-transzformáció • Diagonalizálás szimultán sor-oszlopműveletekkel • Tehetetlenség, Sylvester-tétel • Kvadratikus alak és kúpszelet ábrázolása • Kvadratikus alakok jellege • Pozitív szemidefinit és definit mátrixok faktorizációi • Főminorok

Szinguláris érték szerinti felbontás

A szinguláris érték és vektor fogalma • Szinguláris értékek és vektorok meghatározása • A szinguláris értékek tulajdonságai • Szinguláris érték szerinti felbontás • Az SVD kiszámolása • Szinguláris felbontás geometriai interpretációja • Pszeudoinverz • Polárfelbontás

9. Hosszúság és sebesség

Norma

Vektor euklideszi normája • A p-norma • A norma általános fogalma • Vektornormák ekvivalenciája • Vektornormák mátrixokon • A mátrixnorma általános fogalma • Kis rangú approximáció • Kondíciószám

Differenciálhatóság, derivált

Vektor-vektor függvények differenciálhatósága • Mátrix-skalár- és skalár-mátrix-függvények deriválása • Függvények kompozíciójának deriváltja • Mátrixkifejezések differenciálása • Jacobi-determináns és az integrál transzformációja

Differencia- és differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek és differenciaegyenlet-rendszerek • Differenciálegyenletek és differenciálegyenlet-rendszerek • Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletrendszer • Inhomogén differenciálegyenlet-rendszer • Differenciálegyenletek

10. Nemnegatív mátrixok

A Perron–Frobenius-elmélet

Mátrixok összehasonlítása • A pozitivitás fokozatainak gráfelméleti megfogalmazása • A mátrix periódusa • A primitív mátrixok jellemzése • Nemnegatív mátrix spektrálsugara • Pozitív mátrixok • Primitív és imprimitív mátrixok • Határérték-tulajdonságok • Reducibilis mátrixok

Sztochasztikus mátrixok

Sztochasztikus vektorok és mátrixok • Duplán sztochasztikus mátrixok • A Leontief-modell • Markov-lánc és lineáris algebrai modellje • Az állapotok osztályozása • Stacionárius eloszlás • Néhány egyszerű példa

11. Algebrai alapismeretek

Számolás véges halmazon

Egy 2 elemű struktúra • Számolás az egészek maradékaival • Számolás Fp[x] maradékaival • Alkalmazások

Komplex számok

A számfogalom bővülése • A komplex szám algebrai alakja • Számolás algebrai alakban megadott komplex számokkal • A komplex szám trigonometriai és exponenciális alakja • Trigonometriai és exponenciális alakú számok műveleti tulajdonságai • Hatványozás, gyökvonás trigonometriai alakkal • Egységgyökök

Testek, gyűrűk

Test • Gyűrű • Egy- és kétműveletes algebrai struktúrák

Polinomok

A polinom fogalma • A polinomok algebrai struktúrája • Polinomfüggvény, zérushely, gyök • Az algebra alaptétele • Horner-módszer • Racionális gyökök keresése • Polinomosztás • Gyökök és együtthatók

Tárgymutató